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Wer sich ein wenig mit fraktaler Geometrie beschäftigt hat, der kennt das Sierpinskidreieck.
Für den Zahlentheoretiker hat dieses Fraktal die allergrößte Bedeutung, wenn man nur an das Pascalsche Dreieck denkt.
Fast überhaupt nicht bekannt und selten publiziert werden dagegen n-Ecke als fraktale Strukturen, die sich vom Sierpinskidreieck direkt konsequent abgeleiten lassen. Was sind die Bedingungen für eine Weiterführung des Sierpinskidreiecks auf höhere n-Ecke (Viereck, Fünfeck, Sechseck usw.?
1.: Anzahl neu entstehender fraktaler n-Ecke
= Anzahl seiner Ecken.
2.: Die Seiten des n-Ecks halbieren sich in jeder Iterationsstufe.
Der Übersichtlichkeit halber bleiben wir bei der ersten Iterationstufe. (Iterationsstufe = eine Stufe fraktaler Zergliederung).
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Da sich die Fraktale ab dem 5-Eck überschneiden, ist bei gefüllten Flächen normalerweise keine Strukur mehr erkennbar, es sei denn, man füllt die Flächen der Überschneidungen alternierend wie hier dargestellt, oder man zeichnet nur die Umrisse. Zur Veranschaulichung des Problems
hier ein externer Link . Nach dem Öffnen des Links schaue man im unteren Bereich dieser Webseite.
Welche Geometrie entsteht, wenn sich die Anzahl der Ecken des Polygons (des Dreiecks) erhöht?
Betrachten Sie dazu die Animation in der Mitte.
Achtung! Es handelt sich hier nicht mehr um eine Abfolge von Iterationsstufen! Nur die Anzahl der Ecken innerhalb der ersten Iterationsstufe erhöht sich.
Das Dreieck entspricht noch dem Sierpinski-Dreieck. Wendet man oben stehende Bedingungen auf das Quadat an, haben wir folgerichtig einfach ein Quadrat mit doppelter Kantenlänge, da ja das Quadrat in der Ebene mit sich selbst pflasterbar ist.
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Ab dem 5-Eck aber müssen sich nun zwangsläufig die Fraktale überschneiden, in der Art, dass sie sich um einen zentralen Punkt gruppieren! Das Viereck mit seinen rechten Winkeln ist das letzte Fraktal, in dem keine Überschneidungen entstehen. Ein großes Thema für sich.
Aber wir wollen hier einem anderen interessanten Sachverhalt Beachtung schenken, weshalb uns das 10-Eck interessiert.
Dazu betrachten wir uns die letzte Animation ganz rechts.
So wie sich das Sierpinskidreieck der ersten Iterationsstufe in 3 Dreiecke zergliedert,
teilt sich auch das fraktale Zehneck der ersten Iterationsstufe in 10 10-Ecke, welche sich aber
nun überlagern.
Auf Grund der Überlagerungen entstehen 40 Vierecke in diesem Fraktal. Jedes von diesen 10
10-Ecken beinhaltet jeweils 10 Vierecke!
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10-Eck = 10 Vierecke!
Kleinere n-Eck-Fraktale beinhalten weniger Vierecke als die Anzahl ihrer Ecken,
größere n-Eck-Fraktale beinhalten mehr Vierecke als die Anzahl ihrer Ecken!
Und natürlich haben wir auch hier wieder die klare Gliederung der Tetraktys in der Weise, wie die 10 Vierecke im 10-Eck angeordnet sind: Von der Peripherie des 10-Ecks bis zum Mittelpunkt in dieser Reihenfolge: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 !
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Warum könnte das interessant sein?
Wir stoßen hier auf eine Gesetzmäßigkeit,
die wir nicht nur in diesem Beispiel antreffen!
Um sich einen Überblick zu verschaffen, schauen Sie bitte hier!
Leider habe ich noch keine Zeit gefunden, dieses überaus interessante und wichtige Thema weiter zu vertiefen, da diese Internetseite neu ist.
Bitte schauen Sie hin und wieder mal hier vorbei.
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