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Das Thema "Geometrie" möchte ich mit einem visuell sehr ansprechenden Sachverhalt
eröffnen, nicht zuletzt deshalb, weil er auch
mir damals im Jahre 2006 das Tor zur
Tetraktys einen Spalt weit öffnete.
Damals kam mir eine Idee, die nicht ganz
einfach zu beschreiben ist. Zwar werde
ich es weiter unten versuchen, aber der Leser
sei beruhigt, man muss es nicht sofort
verstehen, entscheidend ist erst mal nur,
das Ganze auf sich wirken zu lassen.
An jenem Tag zeichnete ich wieder diese
Gebilde welche man "Simplex" nennt, in
einem vektorbasierten Zeichenprogramm.
Dazu zeichnet man ein Vieleck (Polygon)
und zeichnet in dieses Vieleck so genannte Sternpolygone.
Dann kam mir ein folgenschwerer Einfall und mit einem einzigen Mausklick erschienen vor meinen Augen plötzlich wunderschöne Ornamente! |
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Das Ergebnis sieht nicht nur nett aus, sondern birgt eine Überraschung!
Aber vielleicht entdecken Sie bei aufmerksamer Betrachtung die Tetraktys (= Vierheit) in der Abfolge dieser Ornamente ja schon selbst!
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Und halten sie sich folgende Tatsache vor Augen: Jedes Ornament präsentiert den genauen Charakter der jeweiligen darunter stehenden Zahl, dh. die Teilbarkeit durch natürliche Zahlen. Erläuterungen ganz unten. |
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Was also tat ich und was führte der Rechner zu Ende?
In jedes Polygon habe ich die maximal mögliche Anzahl von Sternpolygonen gezeichnet. Dabei bin ich in der Weise verfahren, wie ganz unten auf dieser Seite zu sehen ist.
Dann kam mir folgender Einfall: Ich füllte per Mausklick die Fläche des Polygons und die Flächen seiner eingezeichneten Sternpolygone mit einer Farbe und führte im Vektor-Zeichenprogramm den Befehl aus "Objekte verbinden".
Auf diese Weise entstehen "alternierende Füllungen".
Das bedeutet, dass alle Flächen, die durch die Überschneidungen entstehen, abwechselnd mit Farbe gefüllt oder nicht gefüllt werden.
Da aber nun bei den Simplex, welche die geraden Zahlen präsentieren, die letzten Tangenten direkt durch den Mittelpunkt laufen und als Linien eben keine Fläche bilden, fallen diese Tangenten einfach raus!
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Das ist auch der Grund, weshalb geradzahlige Ornamente ein größeres "Loch" in der Mitte aufweisen als die ungeradzahligen.
Damit haben wir nun zwar die Frage nach dem "Wie" beantwortet (was habe ich gezeichnent und was hat der Computer daraus gemacht), aber das "Warum" ist damit noch nicht geklärt!
Warum entsteht dieser Wechsel nach jeweils >4< Ornamenten?
Diese Frage habe ich mindestens 4 Mathematikern gestellt, aber leider konnte mir kein einziger Zahlenjongleur eine plausible Antwort darauf geben! Also musste ich mich selbst an die Lösung dieses Problems machen.
Um also der Sache auf den Grund zu gehen, fächerte ich die in die Polygone einzeln eingezeichneten Sternpolygone in einem Koordinatensystem auf, so wie es hier darunterstehend zu sehen ist:
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Wo also steckt in diesen Ornamenten allein schon für den rein visuellen Betrachter die Tetraktys?
Am auffälligsten sind diese ersten vier mit Farbe gefüllten Simplex welche die Zahlen 3 bis 6 vertreten. Das Zentrum ist mit Farbe gefüllt, die nächsten vier Simplex der Ziffern 7 bis 10 haben einen "leeren" Mittelpunkt.
Ab der Ziffer 11 haben die nächsten vier Figuren wieder einen gefüllten Mittelpunkt.
In diesem Wechsel geht es immer weiter
bis in alle Ewigkeit – wie ich später erkannte.
Wie entsteht dieser "Vierertakt"?
Was habe ich gezeichnet und was hat der Computer (das Vektor-Zeichenprogramm) daraus gemacht?
Nun brauchte man ja einem "Vierertakt" keine größere Bedeutung beimessen, der aus einer
Laune eines Grafikers und der Willkür des
Computers entsteht! Aber hier wollte es der Zufall, dass Mensch und Maschine auf die Tetraktys stießen.
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Oben in der Waagerechten befindet sich der Zahlenstrahl von 1 bis unendlich mit den geometrischen Entsprechungen der Simplex bzw. Ornamente, rechts in der Senkrechten sehen Sie die Anzahl der aufkumulierten Stufen. Was eigentlich ist mit dem Begriff "Stufe" gemeint? Schauen wir uns die aufgefächerten Sternpolygone genauer an.
Die erste waagerechte Reihe unter den Ornamenten sind die Polygone selbst, die einfach nur mit Farbe gefüllt sind. Die zweite Reihe präsentieren alle Sternpolygone, bei denen jeder zweite Eckpunkt verbunden ist. Deshalb muss die Peripherie auch zweimal komplett abgegriffen werden um alle Eckpunkte zu erreichen. Es sind also zwei Umläufe nötig, infolgedessen es zu einer Überschneidung kommt! Das Ergebnis sind zwei Stufen: die äußere Stufe (Sternzacken) ist mit Farbe gefüllt, wärend die innere Stufe leer ist. Mit diesem Prinzip geht es immer weiter. Jedes nachfolgende Sternpolygon hat ein Stufe mehr als der Vorgänger, da immer ein Eckpunkt mehr ausgelassen wird! Infolgedessen hat jedes nachfolgende Sternpolygon spitzwinkligere Zacken als der Vorgänger.
Gerade Zahlen schließen immer mit einem
"Linienstern" ab. Dieser fällt aus dem System raus, da er keine Fläche aufweist.
Wo also entstehen diese Wechsel von gefülltem
zu nicht gefülltem Mittelpunkt und umgekehrt?
Beim Betrachten der Zahlenfolgen entdeckte ich
schließlich die Lösung zur Frage:
Warum entsteht ein "Vierertakt"?
Die Antwort lautet:
Wenn sowohl der waagerechte als auch der senkrechte Zahlenstrahl eine ungerade Zahl enthalten, dann kommt es zu einem Wechsel!
Eigentlich recht simpel. Man kann es vergleichen mit dem alten Orakelspielchen: "Er liebt mich. Er liebt mich nicht" , indem man bei einem Akazienzweig die Blätter abrupft, bis man auf des letzte "Orakelblatt" trifft.
Hat der Zweig eine gerade Anzahl Blätter, dann endet das Spiel mit dem Satz mit dem der Fragende begonnen hat. Hat der Zweig jedoch eine ungerade Anzahl Blätter, dann endet das Spiel immer mit dem gegenteiligen Satz als zu Beginn des Spiels.
Dadurch, dass sich in einem Koordinatensystem dieser Effekt doppelt, kommt es zu einem "Vierertakt"! So einfach ist das. Die Tabelle rechts zeigt es noch einmal.
Was aber zum Nachdenken anregen könnte, ist die Tatsache, dass jeder dieser Ornamente (Simplex) eben quasi ein Koordinatensystem in sich trägt, welches diese Vierheit erzeugt.
Nun muss aber der Leser nicht glauben,
dass allein diese Vierheit bei mir schon
ein "Tetraktys-Erlebnis" hervorrief!
Denn schließlich heisst es doch:
1 + 2 + 3 + 4 = 10 !
Was also ist mit der Ziffer 10?
Die Schwierigkeit im Begreifen der nun folgenden Zusammenhänge besteht darin, dass man sie parallel erkennen muss! Erst dann kann man sie zusammenführen, um zum Aha-Erlebnis zu kommen:
1. Die aufkumulierten Stufen, welche unterhalb der Klammern zu sehen sind, zeigen die Abfolge der Dreieckszahlen in der x-Achse. Die 10 ist die vierte Dreieckszahl und enthält jene Besonderheit, welche ich unter dem Menüpunkt "Bedeutung" mit dem 10-Punkte-Dreieck bereits illustrierend erklärt habe.
2. Das 10-Eck ist der einzige Simplex, bei
welchem die Anzahl der Ecken
mit der Anzahl der Stufen übereinstimmt,
kleinere Simplex haben weniger "Stufen"
als Ecken, größere Simplex haben mehr
Stufen als Ecken! Dieser Sachverhalt ist nicht identisch mit dem ersten, enthält aber ebenfalls die Folge der Dreieckszahlen, hier nun aber in der y-Achse!
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Dieser hier beschriebene Sachverhalt muss vom Leser nicht sofort auf Anhieb verstanden werden! Das Problem ist einfach, dass es zu viele Dinge parallel zu begreifen gilt.
Andererseits kann ich aus momentanen Zeitgründen nicht jedes Detail illustierend erklären, auch wenn ich es längerfristig versuchen werde.
Am besten wäre es, wenn Sie sich die nun folgenden Links anschauen. Wenn Sie dann nach einiger Zeit wieder auf diesen hier beschriebenen Fall zurückkommen, dann werden sich für Sie die meisten Fragen von selbst geklärt haben.
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Speziell für diesen beschrieben Fall möchte ich
noch einmal auf die Download-Datei
tetraktys_1.pdf hinweisen, in der diese Tetraktys-Konstellation zwar mit der selben Geometrie quasi deckungsgleich illustiert ist, hier nun aber auf die tatsächlichen geometrischen Ursachen Bezug nimmt!
Parallel zu diesen geometrischen Ursachen
die verblüffende zahlentheoretische Komponente, die Sie sich hier anschauen können:
DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS
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Zum besseren Verständnis hier noch einmal kurz die zahlentheoretische Entsprechung der Geometrie der Simplex am Beispiel des 10-Eck-Simplex:
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Das 10-Eck,
jeder Eckpunkt wird verbunden.
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Verbinden wir jeden 2. Eckpunkt, so müssen wir auch zweimal um das Zentrum des 10-Ecks fahren. Dabei entstehen zwei Fünfecke (Pentagone).
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Verbinden wir nun jeden 3. Eckpunkt, dann müssen wir dazu den Mittelpunkt auch dreimal umrunden. Dabei entsteht ein Sternpolygon, welches wir in einem Zug zeichnen können.
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Verbinden wir nun jeden 4. Eckpunkt, dann müssen wir dazu den Mittelpunkt auch viermal umrunden. Dadurch entsteht die letzte, in einem 10-Eck mögliche Sternpolygon-Konstellation, sie setzt sich aus zwei Pentagrammen (Fünfsternen) zusammen.
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Verbinden wir nun jeden 5. Eckpunkt, dann können wir von Eckpunkt zu Eckpunkt nur noch Linien zeichnen, welche direkt durch den Mittelpunkt ("Nullpunkt") laufen. Diese Liniensterne haben in mehrfacher Hinsicht einen
"Null-Status", siehe auch:
tetraktys_1.pdf |
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Hier sehen wir noch einmal den vollständigen
Simplex.
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10 geteilt durch 1
bzw. 1 x 10
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10 geteilt durch 2
bzw. 2 x 5
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10 geteilt durch 3
bzw. 3 x 3,333...
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10 geteilt durch 4
bzw. 4 x 2,5
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10 geteilt durch 5
bzw. 5 x 2, entspricht
der zweiten Konstellation = 2 x 5
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